فترض أن 𝐾 مجموعة فرعية غير فارغة من فضاء المتجه الطوبولوجي لهاوسدورف 𝑋، ولتكن 𝑓 دالة متصلة ذات قيمة حقيقية على 𝑋. إذا كان لكل 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2,...,𝑥𝑛)∈𝑋𝑛 ، يوجد 𝑘0 ∈ 𝐾 حيث 𝐹𝐾(𝑥) = ∑𝑛 𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 − 𝑘0) = in و{∑𝑛 𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖 − 𝑘) : 𝑘 ∈ 𝐾}، ثم 𝐾 يسمى 𝑓-داني في نفس الوقت، و𝑘0 يسمى 𝑓-أفضل تقريب متزامن لـ 𝑥 في 𝐾. في هذا البحث، ندرس مسألة التقريب الآني 𝑓 للفضاء الجزئي المتجه 𝐾 في 𝑋. تم عرض بعض النتائج الأخرى المتعلقة بتقريب 𝑓 المتزامن في مساحة خارج القسمة. كما ندرس مفهوم تقريب 𝑓 المتزامن في فضاء خارج القسمة وندرس الاستنتاج وبعض نظرية مقدم